やっちゃった~~~。失敗しました。
Amazon Dash Buttonを2つ持っているのですが、片方のバッテリー残量が10%を切っていたので電池を交換することにしました。
色々参考になるページがあります。ありがたいです。
Amazon Dash Buttonの電池が切れたので交換した - にるぽっぽ
アマゾンダッシュボタンを分解する。 - まず分解。
マイナスドライバで穴をあけて、そこから梃子でフタを剥がしました。

あけた穴が基板を貫通していました。愚かですね。フタの境目に穴を開けるのではなく、底の方にカッターで切れ目を入れてマイナスドライバを差し込めばこんなことにはならなかったです。
モニタの入力端子切り替えに使っているボタンだったのですが、無いとめちゃくちゃ不便なので、AWS IoTボタンより手頃な値段の代替機がほしいところです。
いくつか条件がありますが、Amazon Dash Buttonはサービス停止後もまだ使える代物なので、復旧させてみたい方は以下の記事を読んでみてください。
Wi-Fiに繋がらないAmazon Dash Buttonを復旧させて出勤ダッシュボタンを作る。 - Qiita